Cebir, hem aritmetik derslerinin hem mühendislik formüllerinin hem de bilgisayar kodlarının temelini oluşturur; ancak çoğu insan bu kelimeyle, ne işe yaradığına dair açık bir fikir sahibi olmadan, yalnızca bir okul dersi olarak karşılaşır. Temelde cebir, her belirli durumu tek tek yazmak yerine sayılar hakkında genel kuralları semboller kullanarak ifade etme yöntemidir.
Cebir gerçekte nedir
Eğitim sitesi Mathsisfun'a göre cebir, bilinmeyen veya birçok değer alabilen sayıların yerini tutan x veya y gibi harfleri değişken olarak kullanan ve bu sembollerden oluşturulan ifadelerin ve denklemlerin nasıl birleştirilip değiştirilebileceğine dair kuralları içeren bir matematik dalıdır.
Mathsisfun'ın temel terimler sözlüğü, herhangi bir cebirsel ifadeyi oluşturan yapı taşlarını tanımlar. Bir değişken, genellikle x veya y gibi bir harf olup henüz bilinmeyen bir sayıyı temsil eden bir semboldür. Bir sabit, hiçbir değişkene bağlı olmayan tek başına sabit bir sayıdır; örneğin 4x − 7 ifadesindeki −7. Bir katsayı, bir değişkeni çarpmak için kullanılan bir sayıdır — örneğin 4x'teki 4 — ve bir terim, tek bir sayı veya değişken, ya da sayıların ve değişkenlerin bir çarpımıdır; bir ifade ise artı veya eksi işaretleriyle birleştirilmiş terimler grubudur.
Bir denklem, buna bir bileşen daha ekler: bir eşittir işareti. Mathsisfun'a göre bir denklem, iki ifadenin birbirine eşit olduğunu belirtir; bu, işaretin sol tarafındaki değerin sağ tarafındaki değerle eşleşmesi gerektiği anlamına gelir, x + 2 = 6 gibi. Bir denklemi çözmek, değişkenin hangi değerinin bu ifadeyi doğru kıldığını bulmak demektir.
'Cebir' kelimesi nereden geldi
Kelimenin kendisi 9. yüzyıl Bağdat'ına kadar uzanır. Matematik eğitimi sitesi Mathigon'a göre Fars bilgin Muhammed el-Harizmî (780–850), Hikmet Evi'nde çalışmış ve İngilizcede The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing olarak bilinen bir kitap yazmıştır. Mathigon'a göre bu kitap, doğrusal ve ikinci derece denklemlerin nasıl çözüleceğini göstermiş ve yüzyıllar boyunca Avrupa üniversitelerinde kullanılan ana matematik ders kitabı haline gelmiştir.
Mathigon, 'cebir' teriminin doğrudan el-Harizmî'nin kitabının Arapça başlığından geldiğini ve 'algoritma' kelimesinin de aynı şekilde onun adından geldiğini belirtir. Bu nedenle kendisi genellikle cebirin babası olarak tanımlanır. Matematikçiler John O'Connor ve Edmund Robertson tarafından yürütülen bir kaynak olan St Andrews Üniversitesi'nin MacTutor Matematik Tarihi arşivi, ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözülmesi ile matematikçiler Niccolò Tartaglia ve Gerolamo Cardano arasında 16. yüzyılın sonlarında üçüncü derece denklem yöntemleri üzerine yaşanan anlaşmazlık dahil olmak üzere ilgili tarihsel konuları, dizin sayfasında daha fazla anlatım detayı vermeden kataloglar.
Denklem türleri ve onları birbirinden ayıran özellikler
Her denklem aynı şekilde çözülmez. Doğrusal bir denklem, yalnızca birinci kuvvete yükseltilmiş bir değişken içerir (x + 2 = 6 gibi), ikinci derece bir denklem ise ikinci kuvvete yükseltilmiş bir değişken içerir (denklemdeki x² gibi). Mathigon'a göre el-Harizmî'nin kitabı, hem doğrusal hem de ikinci derece denklemlerin sistematik kurallar kullanılarak nasıl çözüleceğini göstermiştir.
Temel cebir terimleri| Terim | Tanım (Mathsisfun'a göre) | Örnek |
|---|
| Değişken | Henüz bilinmeyen bir sayı için sembol | x, y |
|---|
| Sabit | Hiçbir sembole bağlı olmayan sabit bir sayı | 4x − 7'deki −7 |
|---|
| Katsayı | Bir değişkeni çarpan sayı | 4x'teki 4 |
|---|
| Terim | Bir sayı, bir değişken veya bunların çarpımı | 4x veya 7 |
|---|
| İfade | + veya − işaretleriyle birleştirilmiş terimler, eşittir işareti yok | 4x − 7 |
|---|
| Denklem | İki ifadenin eşit olduğunu belirten ifade | x + 2 = 6 |
|---|
Problem çözmek için dört adımlı bir yöntem
Terminolojinin ötesinde, matematik eğitimi aynı zamanda sadece denklemlere değil, problemlere yaklaşmak için genel stratejilere de dayanır. En yaygın şekilde atıfta bulunulan çerçeve, Macar matematikçi George Pólya tarafından How to Solve It (Nasıl Çözülür) adlı kitabında ortaya konmuştur. Cambridge University Press üzerinden erişilen ve The Mathematical Gazette dergisinde 1946'da yayımlanan kitabın bir incelemesi, ilk baskının 204 sayfa olduğunu, 16 şilin 6 pens tutarında olduğunu ve 1945'te Princeton University Press tarafından Humphrey Milford ile birlikte yayımlandığını kaydeder.
Kentucky Üniversitesi'nin bir matematik ders sayfasında ve Mathematics LibreTexts kaynağında belirtildiği üzere, Pólya'nın yöntemi dört adımdan oluşur. Birincisi problemi anlamaktır: problemi dikkatle okumak, kendi sözcükleriyle yeniden ifade etmek ve neyin verildiğini, neyin sorulduğunu belirlemek. İkincisi bir plan geliştirmektir; bir resim çizmek, bir liste yapmak, bir örüntü aramak, bir değişken tanıtmak veya problemi daha küçük parçalara ayırmak gibi stratejiler arasından seçim yapmak.
Üçüncü adım planı uygulamaktır; seçilen yöntemi adım adım izlemek ve plan bir sonuca ulaştırmıyorsa planı yeniden değerlendirmektir. Dördüncü adım olan geriye bakmak ise sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol etmek, cevabı doğrulamak ve daha basit bir yöntemin var olup olmadığını veya problemin genelleştirilip genelleştirilemeyeceğini değerlendirmek anlamına gelir.
- Problemi anlayın — neyin verildiğini ve neyin sorulduğunu belirleyin.
- Bir plan geliştirin — bir değişken kullanma, bir şema çizme veya bir örüntü bulma gibi bir strateji seçin.
- Planı uygulayın — seçilen yöntemi adım adım uygulayın.
- Geriye bakın — cevabın mantıklı olup olmadığını kontrol edin ve daha basit veya daha genel çözümleri değerlendirin.
Kentucky ders sayfası ve LibreTexts kaynağı, bu sırayı herhangi bir tek denklem türüyle sınırlı bir formül olarak değil, genel amaçlı bir yaklaşım olarak sunar; bu nedenle bugün hâlâ matematik öğretmeni yetiştirme materyallerinde yer almaya devam etmektedir.
Her iki tarihsel hat da bir bilinmeyen değeri belirlemek için sistematik prosedürleri tanımlar: el-Harizmî'nin denklemleri tamamlama ve dengeleme için 9. yüzyıldan kalan kuralları ve Pólya'nın 20. yüzyıldan kalan dört adımlı süreci; her ikisi de bilinmeyen bir miktarı bilinen bir miktara dönüştürmek için tek seferlik bir numara yerine tekrarlanabilir bir yöntem sunar.
