Comment l'algèbre, les équations et la résolution de problèmes mathématiques fonctionnent réellement

L'algèbre sous-tend les classes d'arithmétique, les formules d'ingénierie et le code informatique de la même manière, pourtant beaucoup de gens rencontrent le mot uniquement comme une matière scolaire sans une compréhension claire de ce qu'il fait. À la base, l'algèbre est une façon d'écrire des règles générales sur les nombres en utilisant des symboles au lieu d'écrire chaque cas spécifique.

Ce que l'algèbre est réellement

Selon le site éducatif Mathsisfun, l'algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des lettres telles que x ou y comme variables représentant des nombres inconnus ou pouvant prendre de nombreuses valeurs, ainsi que les règles sur la façon dont les expressions et les équations construites à partir de ces symboles peuvent être combinées et modifiées.

Le glossaire des termes de base de Mathsisfun définit les éléments constitutifs de toute affirmation algébrique. Une variable est un symbole, généralement une lettre comme x ou y, pour un nombre pas encore connu. Une constante est un nombre fixe en soi, sans variable attachée, comme le −7 dans l'expression 4x − 7. Un coefficient est un nombre utilisé pour multiplier une variable — le 4 dans 4x, par exemple — et un terme est un nombre ou une variable unique, ou un produit de nombres et de variables, tandis qu'une expression est un groupe de termes joints par des signes plus ou moins.

Une équation ajoute un ingrédient de plus : un signe égal. Selon Mathsisfun, une équation énonce que deux expressions sont égales, ce qui signifie que la valeur du côté gauche du signe doit correspondre à la valeur du côté droit, comme dans x + 2 = 6. Résoudre une équation signifie trouver quelle valeur de la variable rend cette affirmation vraie.

D'où vient le mot 'algèbre'

Le mot lui-même remonte à Bagdad au IXe siècle. Selon le site d'éducation mathématique Mathigon, le savant persan Muhammad al-Khwarizmi (780–850) a travaillé à la Maison de la Sagesse et a écrit un livre connu en anglais sous le nom de The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Ce livre a montré comment résoudre les équations linéaires et quadratiques et est devenu le principal manuel de mathématiques utilisé dans les universités européennes pendant des siècles, selon Mathigon.

Mathigon affirme que le terme 'algèbre' dérive directement du titre arabe du livre d'al-Khwarizmi, et que le mot 'algorithme' dérive également de son nom. Pour cette raison, il est souvent décrit comme le père de l'algèbre. L'archive MacTutor History of Mathematics de l'Université de St Andrews, une ressource maintenue par les mathématiciens John O'Connor et Edmund Robertson, catalogue les sujets historiques connexes, y compris la résolution des équations quadratiques, cubiques et quartiques et le différend ultérieur du XVIe siècle entre les mathématiciens Niccolò Tartaglia et Gerolamo Cardano sur les méthodes d'équations cubiques, sans fournir plus de détails narratifs sur sa page d'index.

Types d'équations et ce qui les distingue

Toute équation n'est pas résolue de la même manière. Une équation linéaire implique une variable élevée uniquement à la première puissance (comme x + 2 = 6), tandis qu'une équation quadratique inclut une variable élevée à la deuxième puissance (comme x² dans l'équation). Le livre d'al-Khwarizmi, selon Mathigon, a montré comment résoudre les équations linéaires et quadratiques en utilisant des règles systématiques.

Une méthode en quatre étapes pour résoudre des problèmes

Au-delà du vocabulaire, l'éducation mathématique s'appuie également sur des stratégies générales pour aborder les problèmes, pas seulement les équations. Le cadre le plus largement cité a été établi par le mathématicien hongrois George Pólya dans son livre How to Solve It. Une critique du livre publiée dans The Mathematical Gazette en 1946, consultée via Cambridge University Press, enregistre que la première édition contenait 204 pages, coûtait 16 shillings et 6 pence, et a été publiée en 1945 par Princeton University Press avec Humphrey Milford.

La méthode de Pólya, telle que décrite sur une page de cours de mathématiques de l'Université du Kentucky et sur une ressource Mathematics LibreTexts, consiste en quatre étapes. La première est de comprendre le problème : le lire attentivement, le reformuler avec ses propres mots et identifier ce qui est donné et ce qui est demandé. La deuxième est de concevoir un plan, en choisissant parmi des stratégies telles que dessiner une image, faire une liste, chercher un motif, introduire une variable ou diviser le problème en parties plus petites.

La troisième étape est d'exécuter le plan, en travaillant à travers la méthode choisie et en reconsidérant le plan s'il ne mène nulle part. La quatrième étape, regarder en arrière, signifie vérifier si le résultat est raisonnable, vérifier la réponse et déterminer s'il existe une méthode plus simple ou si le problème pourrait être généralisé.

1. Comprendre le problème — identifier ce qui est donné et ce qui est demandé.
2. Concevoir un plan — choisir une stratégie telle que l'utilisation d'une variable, le dessin d'un diagramme ou la recherche d'un motif.
3. Exécuter le plan — appliquer la méthode choisie étape par étape.
4. Regarder en arrière — vérifier la réponse pour la raisonnabilité et considérer des solutions plus simples ou plus générales.

La page du cours du Kentucky et la ressource LibreTexts présentent cette séquence comme une approche à usage général plutôt que comme une formule limitée à un seul type d'équation, c'est pourquoi elle continue à apparaître dans les matériels de formation des enseignants de mathématiques aujourd'hui.

Les deux axes historiques décrivent des procédures systématiques pour déterminer une valeur inconnue : les règles du IXe siècle d'al-Khwarizmi pour compléter et équilibrer les équations, et le processus en quatre étapes du XXe siècle de Pólya, chacun offrant une méthode répétable plutôt qu'un truc ponctuel pour transformer une quantité inconnue en une quantité connue.