Come funzionano effettivamente Algebra, Equazioni e Risoluzione di Problemi Matematici

L'algebra è alla base delle classi di aritmetica, delle formule di ingegneria e del codice informatico, eppure molte persone incontrano la parola solo come materia scolastica senza una chiara comprensione di ciò che fa. Nel suo nucleo, l'algebra è un modo di scrivere regole generali sui numeri utilizzando simboli invece di scrivere ogni caso specifico.

Cos'è effettivamente l'algebra

Secondo il sito educativo Mathsisfun, l'algebra è un ramo della matematica che utilizza lettere come x o y come variabili che rappresentano numeri sconosciuti o che possono assumere molti valori, insieme a regole per il modo in cui le espressioni e le equazioni costruite da questi simboli possono essere combinate e modificate.

Il glossario dei termini di base di Mathsisfun definisce i blocchi costitutivi che formano qualsiasi affermazione algebrica. Una variabile è un simbolo, di solito una lettera come x o y, per un numero che non è ancora conosciuto. Una costante è un numero fisso di per sé, senza alcuna variabile collegata, come il −7 nell'espressione 4x − 7. Un coefficiente è un numero utilizzato per moltiplicare una variabile – il 4 in 4x, ad esempio – e un termine è un singolo numero o variabile, o un prodotto di numeri e variabili, mentre un'espressione è un gruppo di termini uniti da segni più o meno.

Un'equazione aggiunge un ingrediente in più: un segno di uguaglianza. Secondo Mathsisfun, un'equazione afferma che due espressioni sono uguali, il che significa che il valore sul lato sinistro del segno deve corrispondere al valore sul lato destro, come in x + 2 = 6. Risolvere un'equazione significa trovare quale valore della variabile rende vera questa affermazione.

Da dove viene la parola 'algebra'

La parola stessa risale alla Bagdad del IX secolo. Secondo il sito di educazione matematica Mathigon, lo studioso persiano Muhammad al-Khwarizmi (780–850) lavorava presso la Casa della Saggezza e scrisse un libro noto in inglese come The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Quel libro ha mostrato come risolvere equazioni lineari e quadratiche ed è diventato il principale libro di testo di matematica utilizzato nelle università europee per secoli, secondo Mathigon.

Mathigon afferma che il termine 'algebra' deriva direttamente dal titolo arabo del libro di al-Khwarizmi, e che la parola 'algoritmo' allo stesso modo deriva dal suo nome. Per questo motivo è spesso descritto come il padre dell'algebra. L'archivio MacTutor History of Mathematics dell'Università di St Andrews, una risorsa mantenuta dai matematici John O'Connor e Edmund Robertson, cataloga argomenti storici correlati tra cui la risoluzione di equazioni quadratiche, cubiche e quartiche e la successiva controversia del XVI secolo tra i matematici Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano sui metodi delle equazioni cubiche, senza fornire ulteriori dettagli narrativi nella sua pagina di indice.

Tipi di equazioni e ciò che le distingue

Non ogni equazione viene risolta nello stesso modo. Un'equazione lineare coinvolge una variabile elevata solo alla prima potenza (come x + 2 = 6), mentre un'equazione quadratica include una variabile elevata alla seconda potenza (come x² nell'equazione). Il libro di al-Khwarizmi, secondo Mathigon, ha mostrato come risolvere sia le equazioni lineari che quelle quadratiche utilizzando regole sistematiche.

Un metodo a quattro fasi per risolvere i problemi

Oltre al vocabolario, l'educazione matematica si basa anche su strategie generali per affrontare i problemi, non solo le equazioni. Il framework più ampiamente citato è stato stabilito dal matematico ungherese George Pólya nel suo libro How to Solve It. Una revisione del libro pubblicata in The Mathematical Gazette nel 1946, accessibile tramite Cambridge University Press, registra che la prima edizione era di 204 pagine, costava 16 scellini e 6 pence, ed è stata pubblicata nel 1945 da Princeton University Press insieme a Humphrey Milford.

Il metodo di Pólya, come descritto su una pagina del corso di matematica dell'Università del Kentucky e su una risorsa Mathematics LibreTexts, consiste di quattro fasi. La prima è comprendere il problema: leggerlo attentamente, riformularlo con parole proprie e identificare cosa è dato e cosa è richiesto. La seconda è elaborare un piano, scegliendo da strategie come disegnare un'immagine, fare un elenco, cercare un modello, introdurre una variabile o suddividere il problema in parti più piccole.

Il terzo passo è eseguire il piano, elaborando il metodo scelto e riconsiderando il piano se non porta da nessuna parte. Il quarto passo, guardare indietro, significa controllare se il risultato è ragionevole, verificare la risposta e considerare se potrebbe esistere un metodo più semplice o se il problema potrebbe essere generalizzato.

1. Comprendere il problema – identificare cosa è dato e cosa è richiesto.
2. Elaborare un piano – scegliere una strategia come utilizzare una variabile, disegnare un diagramma o trovare un modello.
3. Eseguire il piano – applicare il metodo scelto passo dopo passo.
4. Guardare indietro – controllare la risposta per ragionevolezza e considerare soluzioni più semplici o più generali.

La pagina del corso del Kentucky e la risorsa LibreTexts presentano entrambe questa sequenza come un approccio di scopo generale piuttosto che come una formula limitata a qualsiasi tipo di equazione, motivo per cui continua ad apparire nel materiale di formazione dei docenti di matematica oggi.

Entrambi i fili storici descrivono procedure sistematiche per determinare un valore sconosciuto: le regole di al-Khwarizmi del IX secolo per completare ed equilibrare le equazioni, e il processo a quattro fasi di Pólya del XX secolo, ognuno offre un metodo ripetibile piuttosto che un trucco una tantum per trasformare una quantità sconosciuta in una nota.