جبر در پایه فصول حساب، فرمول‌های مهندسی و کدهای رایانه‌ای نهفته است، اما بسیاری افراد تنها با این کلمه به عنوان یک درس مدرسی برخورد می‌کنند بدون فهم واضحی از اینکه چه کاری انجام می‌دهد. در اساس، جبر راهی برای نوشتن قوانین عمومی درباره اعداد با استفاده از نمادها به جای نوشتن هر حالت خاص است.
جبر در واقع چیست
بر اساس وبسایت آموزشی Mathsisfun، جبر شاخهای از ریاضیات است که از حروفی مانند x یا y به عنوان متغیرهایی استفاده میکند که نمایندگی اعدادی نامعلوم یا متغیر را دارند، همراه با قوانینی برای اینکه چگونه عبارات و معادلات ساخته شده از این نمادها می‌توانند ترکیب و تغییر داده شوند.
واژه‌نامه Mathsisfun برای شرایط اساسی بلوک‌های سازنده‌ای را تعریف میکند که هر بیان جبری را تشکیل می‌دهند. متغیر یک نماد، معمولاً حرفی مانند x یا y، برای عددی است که هنوز شناخته نشده است. ثابت یک عدد ثابت به تنهایی است، بدون متغیری که به آن متصل باشد، مانند −7 در عبارت 4x − 7. ضریب عددی است که برای ضرب یک متغیر استفاده میشود — مثلاً 4 در 4x — و جمله یک عدد واحد یا متغیر، یا حاصل‌ضرب اعداد و متغیرها است، در حالی که عبارت گروهی از جملات است که با علامات جمع یا تفریق متصل هستند.
معادله یک جزء اضافی اضافه میکند: علامت مساوی. براساس Mathsisfun، معادله بیان میکند که دو عبارت برابرند، به این معنی که مقدار سمت چپ علامت باید با مقدار سمت راست منطبق باشد، همانند x + 2 = 6. حل معادله به معنی یافتن مقدار متغیری است که این بیان را درست میکند.
واژه 'جبر' از کجا آمده است
خود این واژه از بغداد قرن نهم منشأ میگیرد. براساس وبسایت آموزشی Mathigon برای ریاضیات، دانشمند فارسی محمد الخوارزمی (780–850) در خانه‌ی حکمت کار می‌کرد و کتابی را نوشت که در انگلیسی با عنوان The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing شناخته میشود. این کتاب نشان داد چگونه معادلات خطی و درجه دوم را حل کنند و بر اساس Mathigon، کتاب درسی اصلی ریاضیات شد که برای قرن‌ها در دانشگاه‌های اروپایی استفاده می‌شد.
Mathigon بیان میکند که واژه 'جبر' مستقیماً از عنوان عربی کتاب الخوارزمی مشتق شده است، و که واژه 'الگوریتم' نیز مشابهاً از نام او مشتق شده است. به همین دلیل اغلب او را پدر جبر می‌نامند. بایگانی MacTutor برای تاریخ ریاضیات دانشگاه سنت اندرو‌ز، منبعی است که توسط ریاضی‌دانان جان اوکانور و ادموند رابرتسون نگهداری میشود، مواضیع تاریخی مرتبط شامل حل معادلات درجه دوم، سوم و چهارم و نزاع قرن شانزدهم میان ریاضی‌دانان نیکولو تارتاگلیا و جرولامو کاردانو درباره روشهای معادلات سوم را فهرست میکند، بدون ارائه جزئیات بیشتری در صفحه فهرست آن.
انواع معادلات و آنچه آنها را متمایز میکند
هر معادله به یک روش حل نمی‌شود. معادله خطی یک متغیر را تنها به توان اول دارد (مانند x + 2 = 6)، در حالی که معادله درجه دوم یک متغیر را به توان دوم دارد (مانند x² در معادله). براساس Mathigon، کتاب الخوارزمی نشان داد چگونه معادلات خطی و درجه دوم را با استفاده از قوانین منظم حل کنند.
واژگان اساسی جبر| اصطلاح | تعریف (براساس Mathsisfun) | مثال |
|---|
| متغیر | نمادی برای عددی که هنوز شناخته نشده است | x, y |
|---|
| ثابت | عدد ثابتی بدون نماد متصل | −7 در 4x − 7 |
|---|
| ضریب | عددی که یک متغیر را ضرب میکند | 4 در 4x |
|---|
| جمله | عدد، متغیر، یا حاصل‌ضرب آنها | 4x، یا 7 |
|---|
| عبارت | جملاتی که با علامات + یا − متصل هستند، بدون علامت مساوی | 4x − 7 |
|---|
| معادله | بیانی که دو عبارت برابرند | x + 2 = 6 |
|---|
روش چهار مرحله‌ای برای حل مسائل
فراتر از واژگان، آموزش ریاضیات نیز بر استراتژی‌های عمومی برای نزدیک شدن به مسائل تکیه دارد، نه تنها معادلات. چارچوب بیشترین استناد داده شده توسط ریاضی‌دان مجاری جورج پولیا در کتاب خود How to Solve It تعیین شد. نقد کتاب منتشر شده در The Mathematical Gazette در سال 1946، در دسترس از طریق Cambridge University Press، ثبت میکند که ویرایش اول 204 صفحه داشت، هزینه 16 شیلینگ و 6 پنس بود، و توسط Princeton University Press در سال 1945 همراه با Humphrey Milford منتشر شد.
روش پولیا، همانطور که در صفحه کلاس ریاضیات دانشگاه کنتاکی و منبع Mathematics LibreTexts تشریح شده است، از چهار مرحله تشکیل شده است. اول فهم مسئله است: خواندن دقیق آن، بازنویسی آن با کلمات خود، و شناسایی آنچه داده شده و آنچه پرسیده میشود. دوم تدوین یک برنامه است، انتخاب از میان استراتژی‌هایی مانند رسم عکس، ساختن فهرست، جستجو برای الگو، معرفی متغیر، یا تقسیم مسئله به بخش‌های کوچک‌تر.
مرحله سوم انجام برنامه است، پیمودن روش انتخاب‌شده و بازنگری برنامه اگر به جای خاصی نرسد. مرحله چهارم، نگاه به عقب، به معنی بررسی اینکه آیا نتیجه معقول است، تأیید پاسخ، و در نظر گرفتن اینکه آیا روش ساده‌تری وجود داشت یا اینکه مسئله می‌تواند تعمیم داده شود.
- فهم مسئله — شناسایی آنچه داده شده و آنچه پرسیده میشود.
- تدوین یک برنامه — انتخاب استراتژی مانند استفاده از متغیر، رسم نمودار، یا یافتن الگو.
- انجام برنامه — اعمال روش انتخاب‌شده گام به گام.
- نگاه به عقب — بررسی پاسخ برای معقول بودن و در نظر گرفتن راه‌حل‌های ساده‌تر یا عمومی‌تر.
هم صفحه کلاس کنتاکی و هم منبع LibreTexts این ترتیب را به عنوان رویکردی با کاربری عمومی نشان می‌دهند نه محصور به یک نوع معادله، این است که چرا ادامه یافته در مواد تربیت معلمان ریاضیات امروزی ظاهر میشود.
هر دو نخ تاریخی روشهای منظم برای تعیین مقدار نامعلوم را توصیف می‌کنند: قوانین الخوارزمی در قرن نهم برای تکمیل و تعادل معادلات، و فرایند چهار مرحله‌ای پولیا در قرن بیستم، هر یک روش تکرارپذیری را ارائه می‌دهند نه ترفند یکباره برای تبدیل مقدار نامعلوم به مقدار معلوم.
