Como a Álgebra, as Equações e a Resolução de Problemas Matemáticos Realmente Funcionam

A álgebra está subjacente às aulas de aritmética, fórmulas de engenharia e código de computador igualmente, mas muitas pessoas encontram a palavra apenas como uma disciplina escolar sem uma compreensão clara do que ela faz. Em sua essência, a álgebra é uma maneira de escrever regras gerais sobre números usando símbolos em vez de escrever cada caso específico.

O que a álgebra realmente é

De acordo com o site educacional Mathsisfun, a álgebra é um ramo da matemática que usa letras como x ou y como variáveis representando números desconhecidos ou que podem assumir muitos valores, juntamente com regras sobre como expressões e equações construídas a partir desses símbolos podem ser combinadas e alteradas.

O glossário de termos básicos do Mathsisfun define os blocos de construção que compõem qualquer afirmação algébrica. Uma variável é um símbolo, geralmente uma letra como x ou y, para um número ainda não conhecido. Uma constante é um número fixo por si só, sem variável anexada, como o −7 na expressão 4x − 7. Um coeficiente é um número usado para multiplicar uma variável — o 4 em 4x, por exemplo — e um termo é um número ou variável único, ou um produto de números e variáveis, enquanto uma expressão é um grupo de termos unidos por sinais de mais ou menos.

Uma equação adiciona um ingrediente a mais: um sinal de igual. Conforme o Mathsisfun, uma equação afirma que duas expressões são iguais, o que significa que o valor no lado esquerdo do sinal deve corresponder ao valor no lado direito, como em x + 2 = 6. Resolver uma equação significa encontrar qual valor da variável torna a afirmação verdadeira.

De onde vem a palavra 'álgebra'

A palavra em si vem de Bagdá no século IX. De acordo com o site de educação matemática Mathigon, o erudito persa Muhammad al-Khwarizmi (780–850) trabalhou na Casa da Sabedoria e escreveu um livro conhecido em inglês como The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Esse livro mostrou como resolver equações lineares e quadráticas e se tornou o principal livro de matemática usado em universidades europeias por séculos, conforme Mathigon.

Mathigon afirma que o termo 'álgebra' é derivado diretamente do título em árabe do livro de al-Khwarizmi, e que a palavra 'algoritmo' igualmente é derivada de seu nome. Por essa razão, ele é frequentemente descrito como o pai da álgebra. O arquivo MacTutor History of Mathematics da Universidade de St Andrews, um recurso mantido pelos matemáticos John O'Connor e Edmund Robertson, cataloga tópicos históricos relacionados, incluindo a resolução de equações quadráticas, cúbicas e quárticas e a disputa posterior do século XVI entre os matemáticos Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano sobre métodos de equações cúbicas, sem fornecer mais detalhes narrativos em sua página de índice.

Tipos de equações e o que as distingue

Nem toda equação é resolvida da mesma maneira. Uma equação linear envolve uma variável elevada apenas à primeira potência (como x + 2 = 6), enquanto uma equação quadrática inclui uma variável elevada à segunda potência (como x² na equação). O livro de al-Khwarizmi, de acordo com Mathigon, mostrou como resolver equações lineares e quadráticas usando regras sistemáticas.

Um método de quatro etapas para resolver problemas

Além do vocabulário, a educação matemática também se baseia em estratégias gerais para abordar problemas, não apenas equações. A estrutura mais amplamente citada foi estabelecida pelo matemático húngaro George Pólya em seu livro How to Solve It. Uma resenha do livro publicada em The Mathematical Gazette em 1946, acessada via Cambridge University Press, registra que a primeira edição tinha 204 páginas, custava 16 xelins e 6 pence, e foi publicada em 1945 pela Princeton University Press junto com Humphrey Milford.

O método de Pólya, como apresentado em uma página de curso de matemática da Universidade de Kentucky e em um recurso do Mathematics LibreTexts, consiste em quatro etapas. A primeira é entender o problema: lê-lo cuidadosamente, reformulá-lo em suas próprias palavras e identificar o que é dado e o que está sendo pedido. A segunda é elaborar um plano, escolhendo entre estratégias como desenhar uma imagem, fazer uma lista, procurar um padrão, introduzir uma variável ou dividir o problema em partes menores.

A terceira etapa é executar o plano, trabalhando através do método escolhido e reconsiderando o plano se ele não levar a nada. A quarta etapa, olhar para trás, significa verificar se o resultado é razoável, verificar a resposta e considerar se um método mais simples existia ou se o problema poderia ser generalizado.

1. Entender o problema — identificar o que é dado e o que está sendo pedido.
2. Elaborar um plano — escolher uma estratégia como usar uma variável, desenhar um diagrama ou procurar um padrão.
3. Executar o plano — aplicar o método escolhido passo a passo.
4. Olhar para trás — verificar a resposta quanto à razoabilidade e considerar soluções mais simples ou mais gerais.

A página do curso de Kentucky e o recurso LibreTexts apresentam essa sequência como uma abordagem de propósito geral em vez de uma fórmula limitada a um tipo de equação, e é por isso que continua aparecendo em materiais de treinamento de professores de matemática hoje.

Ambas as linhas históricas descrevem procedimentos sistemáticos para determinar um valor desconhecido: as regras do século IX de al-Khwarizmi para completar e equilibrar equações, e o processo de quatro etapas do século XX de Pólya, cada um oferece um método repetível em vez de um truque único para transformar uma quantidade desconhecida em uma conhecida.