Algebra liegt dem Arithmetikunterricht, Ingenieurformeln und Computercode zugrunde, doch viele Menschen treffen das Wort nur als Schulgegenstand an, ohne eine klare Vorstellung davon zu haben, was es bewirkt. Im Kern ist Algebra eine Möglichkeit, allgemeine Regeln über Zahlen mithilfe von Symbolen zu schreiben, anstatt jeden spezifischen Fall auszuschreiben.
Was Algebra wirklich ist
Nach der Bildungswebseite Mathsisfun ist Algebra ein Zweig der Mathematik, der Buchstaben wie x oder y als Variablen verwendet, die Zahlen darstellen, die unbekannt sind oder viele Werte annehmen können, zusammen mit Regeln dafür, wie Ausdrücke und Gleichungen, die aus diesen Symbolen aufgebaut sind, kombiniert und verändert werden können.
Das Glossar der Grundbegriffe von Mathsisfun definiert die Bausteine, die jede algebraische Aussage ausmachen. Eine Variable ist ein Symbol, normalerweise ein Buchstabe wie x oder y, für eine Zahl, die noch nicht bekannt ist. Eine Konstante ist eine festgelegte Zahl für sich allein, ohne an eine Variable gebunden, wie die −7 im Ausdruck 4x − 7. Ein Koeffizient ist eine Zahl, die eine Variable multipliziert – die 4 in 4x beispielsweise – und ein Term ist eine einzelne Zahl oder Variable oder ein Produkt von Zahlen und Variablen, während ein Ausdruck eine Gruppe von Termen ist, die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
Eine Gleichung fügt eine weitere Zutat hinzu: ein Gleichheitszeichen. Nach Mathsisfun besagt eine Gleichung, dass zwei Ausdrücke gleich sind, was bedeutet, dass der Wert auf der linken Seite des Zeichens mit dem Wert auf der rechten Seite übereinstimmen muss, wie in x + 2 = 6. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, herauszufinden, welcher Wert der Variablen diese Aussage wahr macht.
Woher das Wort 'Algebra' kommt
Das Wort selbst stammt aus dem 9. Jahrhundert aus Bagdad. Nach der mathematischen Bildungswebseite Mathigon arbeitete der persische Gelehrte Muhammad al-Khwarizmi (780–850) im Haus der Weisheit und schrieb ein Buch, das auf Englisch als The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing bekannt ist. Dieses Buch zeigte, wie man lineare und quadratische Gleichungen löst, und wurde Jahrhunderte lang zum Hauptmathematiklehrbuch europäischer Universitäten, wie Mathigon berichtet.
Mathigon besagt, dass der Begriff 'Algebra' direkt vom arabischen Titel von al-Khwarizmis Buch stammt, und dass das Wort 'Algorithmus' ebenfalls von seinem Namen stammt. Aus diesem Grund wird er oft als der Vater der Algebra beschrieben. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv der Universität St Andrews, eine von den Mathematikern John O'Connor und Edmund Robertson verwaltete Ressource, katalogisiert verwandte historische Themen, einschließlich der Lösung quadratischer, kubischer und Quartagleichungen und des späteren Streits zwischen den Mathematikern Niccolò Tartaglia und Gerolamo Cardano aus dem 16. Jahrhundert über kubische Gleichungsmethoden, bietet aber keine weiteren Erzählungsdetails auf seiner Indexseite.
Arten von Gleichungen und was sie unterscheidet
Nicht jede Gleichung wird auf die gleiche Weise gelöst. Eine lineare Gleichung beinhaltet eine Variable, die nur auf die erste Potenz erhöht wird (z. B. x + 2 = 6), während eine quadratische Gleichung eine Variable enthält, die auf die zweite Potenz erhöht wird (z. B. x² in der Gleichung). Das Buch von al-Khwarizmi zeigte nach Mathigon, wie man lineare und quadratische Gleichungen mithilfe systematischer Regeln löst.
Grundlegende Algebra-Vokabeln| Begriff | Definition (nach Mathsisfun) | Beispiel |
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| Variable | Ein Symbol für eine noch unbekannte Zahl | x, y |
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| Konstante | Eine feste Zahl ohne Symbol | −7 in 4x − 7 |
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| Koeffizient | Eine Zahl, die eine Variable multipliziert | 4 in 4x |
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| Term | Eine Zahl, eine Variable oder ihr Produkt | 4x oder 7 |
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| Ausdruck | Terme, die durch + oder − Zeichen verbunden sind, kein Gleichheitszeichen | 4x − 7 |
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| Gleichung | Eine Aussage, dass zwei Ausdrücke gleich sind | x + 2 = 6 |
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Eine vierstufige Methode zum Lösen von Problemen
Über das Vokabular hinaus stützt sich mathematische Unterricht auch auf allgemeine Strategien zur Problembearbeitung, nicht nur auf Gleichungen. Das am weitesten verbreitete Rahmenwerk wurde vom ungarischen Mathematiker George Pólya in seinem Buch How to Solve It dargelegt. Eine Rezension des Buches, die 1946 in The Mathematical Gazette veröffentlicht wurde und über Cambridge University Press zugänglich ist, vermerkt, dass die erste Auflage 204 Seiten umfasste, 16 Schillinge und 6 Pence kostete und 1945 von Princeton University Press zusammen mit Humphrey Milford veröffentlicht wurde.
Pólyás Methode, wie auf einer Seite eines Mathematikkurses der Universität Kentucky und einer Mathematics LibreTexts-Ressource dargelegt, besteht aus vier Schritten. Der erste ist, das Problem zu verstehen: es sorgfältig zu lesen, es in seinen eigenen Worten umzuformulieren und zu identifizieren, was gegeben ist und was gefragt wird. Der zweite ist, einen Plan zu entwickeln, indem man aus Strategien wie das Zeichnen eines Bildes, das Erstellen einer Liste, das Suchen nach einem Muster, die Einführung einer Variablen oder das Zerlegen des Problems in kleinere Teile wählt.
Der dritte Schritt ist, den Plan auszuführen, die gewählte Methode schrittweise durchzuarbeiten und den Plan zu überdenken, wenn er nicht zum Ergebnis führt. Der vierte Schritt, Rückblick, bedeutet zu überprüfen, ob das Ergebnis angemessen ist, die Antwort zu verifizieren und zu überlegen, ob eine einfachere Methode existiert oder ob das Problem verallgemeinert werden könnte.
- Das Problem verstehen – identifizieren Sie, was gegeben ist und was gefragt wird.
- Einen Plan erarbeiten – wählen Sie eine Strategie wie die Verwendung einer Variablen, das Zeichnen eines Diagramms oder das Finden eines Musters.
- Den Plan ausführen – wenden Sie die gewählte Methode Schritt für Schritt an.
- Zurückblicken – überprüfen Sie die Antwort auf Angemessenheit und erwägen Sie einfachere oder allgemeinere Lösungen.
Die Kentucky-Kursseite und die LibreTexts-Ressource präsentieren diese Abfolge beide als einen allgemeinen Ansatz, anstatt eine Formel, die auf einen bestimmten Gleichungstyp beschränkt ist, weshalb sie heute weiterhin in Materialien zur Mathematiklehrerausbildung auftaucht.
Beide historischen Stränge beschreiben systematische Verfahren zur Bestimmung eines unbekannten Wertes: al-Khwarizmis Regeln aus dem 9. Jahrhundert zum Vervollständigen und Ausgleichen von Gleichungen und Pólyás vierstufiger Prozess aus dem 20. Jahrhundert bieten jeweils ein wiederholbares Verfahren anstatt eines einmaligen Tricks, um eine unbekannte Menge in eine bekannte zu verwandeln.
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