Jak działają algebra, równania i rozwiązywanie zadań matematycznych

Algebra stanowi podstawę zajęć arytmetyki, wzorów inżynierskich i kodu komputerowego, ale wielu ludzi spotyka to słowo tylko jako przedmiot szkolny, nie mając jasnego pojęcia o tym, co ono robi. W istocie algebra to sposób zapisywania ogólnych reguł dotyczących liczb za pomocą symboli zamiast wypisywania każdego konkretnego przypadku.

Czym naprawdę jest algebra

Według strony edukacyjnej Mathsisfun, algebra to gałąź matematyki, która używa liter takich jak x lub y jako zmiennych reprezentujących liczby, które są nieznane lub mogą przyjmować wiele wartości, wraz z regułami dotyczącymi tego, jak wyrażenia i równania zbudowane z tych symboli mogą być łączone i zmieniane.

Słownik podstawowych terminów na Mathsisfun definiuje elementy składowe tworzące każde stwierdzenie algebraiczne. Zmienna to symbol, zwykle litera taka jak x lub y, reprezentująca liczbę, która nie jest jeszcze znana. Stała to liczba stała sama w sobie, bez dołączonej zmiennej, jak −7 w wyrażeniu 4x − 7. Współczynnik to liczba używana do mnożenia zmiennej — 4 w 4x, na przykład — a wyraz to pojedyncza liczba lub zmienna, lub iloczyn liczb i zmiennych, podczas gdy wyrażenie to grupa wyrazów połączonych znakami plus lub minus.

Równanie dodaje jeszcze jeden element: znak równości. Zgodnie z Mathsisfun, równanie stwierdza, że dwa wyrażenia są równe, co oznacza, że wartość po lewej stronie znaku musi odpowiadać wartości po prawej stronie, jak w x + 2 = 6. Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wartości zmiennej, która sprawia, że stwierdzenie jest prawdziwe.

Skąd pochodzi słowo 'algebra'

Słowo to pochodzi z Bagdadu z IX wieku. Według strony edukacyjnej Mathigon, perski uczony Muhammad al-Chwarizmi (780–850) pracował w Domu Mądrości i napisał książkę znaną po angielsku jako Zwięzła księga o obliczaniu przez uzupełnianie i bilansowanie. Ta księga pokazała, jak rozwiązywać równania liniowe i kwadratowe i stała się głównym podręcznikiem matematyki używanym na uniwersytetach europejskich przez wieki, zgodnie z Mathigon.

Mathigon twierdzi, że termin 'algebra' pochodzi bezpośrednio z arabskiego tytułu książki al-Chwarizmiego, a słowo 'algorytm' podobnie pochodzi z jego imienia. Z tego powodu jest on często opisywany jako ojciec algebry. Archiwum MacTutor Historia Matematyki Uniwersytetu St Andrews, zasób utrzymywany przez matematyków Johna O'Connora i Edmunda Robertsona, kataloguje powiązane tematy historyczne, w tym rozwiązywanie równań kwadratowych, sześciennych i czwartego stopnia oraz późniejszą rozprawę XVI wieku między matematykami Niccolò Tartaglią i Girolamo Cardano na temat metod równań sześciennych, bez podawania dalszych szczegółów narracyjnych na stronie indeksu.

Rodzaje równań i co je odróżnia

Nie każde równanie jest rozwiązywane w taki sam sposób. Równanie liniowe obejmuje zmienną podniesioną tylko do pierwszej potęgi (taką jak x + 2 = 6), podczas gdy równanie kwadratowe zawiera zmienną podniesioną do drugiej potęgi (taką jak x² w równaniu). Książka al-Chwarizmiego, według Mathigon, pokazała, jak rozwiązywać zarówno równania liniowe, jak i kwadratowe przy użyciu zasad systematycznych.

Metoda czterooetapowa do rozwiązywania problemów

Poza leksyką, edukacja matematyczna opiera się również na ogólnych strategiach podejścia do problemów, a nie tylko równań. Najczęściej cytowany ramy został wyznaczony przez węgierskiego matematyka George'a Pólyę w jego książce Jak ją rozwiązać. Recenzja książki opublikowana w The Mathematical Gazette w 1946 roku, dostępna przez Cambridge University Press, odnotowuje, że pierwsze wydanie miało 204 strony, kosztowało 16 szylingów i 6 pensów i zostało opublikowane w 1945 roku przez Princeton University Press wraz z Humphreyem Milfordem.

Metoda Pólyy, jak przedstawiono na stronie kursu matematyki Uniwersytetu Kentucky i zasobie Mathematics LibreTexts, składa się z czterech kroków. Pierwszy to zrozumienie problemu: uważne przeczytanie go, przeformułowanie własnymi słowami i określenie, co jest podane i co jest pytane. Drugi to opracowanie planu, wybierając spośród strategii takich jak rysowanie obrazka, tworzenie listy, szukanie wzoru, wprowadzenie zmiennej lub podzielenie problemu na mniejsze części.

Trzeci krok to wykonanie planu, przejście przez wybraną metodę i ponowne rozważenie planu, jeśli nie prowadzi on nigdzie. Czwarty krok, cofnięcie się, oznacza sprawdzenie, czy wynik jest rozsądny, weryfikację odpowiedzi i zastanowienie się, czy istniała prostsza metoda lub czy problem można było uogólnić.

1. Zrozumieć problem — określić, co jest podane i co jest pytane.
2. Opracować plan — wybrać strategię, taką jak użycie zmiennej, narysowanie diagramu lub znalezienie wzoru.
3. Wykonać plan — zastosować wybraną metodę krok po kroku.
4. Cofnąć się — sprawdzić odpowiedź pod kątem rozsądności i rozważyć prostsze lub bardziej ogólne rozwiązania.

Zarówno strona kursu Kentucky, jak i zasób LibreTexts, prezentują tę sekwencję jako podejście ogólnego przeznaczenia, a nie wzór ograniczony do któregokolwiek jednego typu równania, dlatego nadal pojawia się w materiale szkolenia nauczycieli matematyki dzisiaj.

Oba wątki historyczne opisują systematyczne procedury określania nieznanej wartości: reguły al-Chwarizmiego z IX wieku do uzupełniania i bilansowania równań oraz czterostopniowy proces Pólyy z XX wieku, każdy oferuje powtarzalną metodę, a nie jednorazową sztuczkę do zamiany nieznanej ilości na znaną.