宝くじの確率の本当の仕組み — なぜ期待値は常にマイナスなのか

宝くじの確率は謎でもなく、変わるラックの問題でもありません。それらは与えられたゲームに存在する数字の組み合わせの数から計算される固定数です。宝くじが形式を設定すると — 何個の数字が引き出されるのか、どの程度の大きなプールから — それらにマッチする確率は組み合わせ論によって永久に決定されます。組み合わせ論は可能な組み合わせを数える数学の分野です。

確率の計算方法

米国の複数州ゲームであるパワーボールでは、プレイヤーはpowerball.comに公開されているゲームの公式賞チャートに従って、1～69から5つの数字とパワーボール数字1～26から1つを選びます。11,238,513個の可能な5番号の組み合わせがあり、各々は26個の可能なパワーボール番号と組み合わせることができ、$2チケットの合計292,201,338個の組み合わせを生成します。すべての6つの数字に一致すること — ジャックポットに勝つ唯一の方法 — は正確に292,201,338分の1の確率を持っており、powerball.comが述べています。このサイトはまた、最小の$4層を含む任意の賞に勝つ全体的な確率を24.87分の1にリストしています。

ブラジルのロトファシルはカイシャ・エコノミカ・フェデラル州銀行によって運営され、異なる方法で機能しますが、同じ論理に従います。プレイヤーは25のプール外から15の数字を選び、宝くじはカイシャの公式ロトファシルページに従って15の当選番号を引きます。25から15個のアイテムを選ぶ方法の数は3,268,760です — したがって単一の最小チケットは最高賞のためにすべての15の数字にマッチする3,268,760分の1の確率を持っています。カイシャのページはプレイヤーが1チケットあたり最大20の数字をマークすることができることを確認しています。20の数字を選ぶことは一度に15,504個の組み合わせを生成し、カイシャの公開された数字を分割することで、大体211分の1のジャックポット確率で計算します。これは単一チケットあたりR$54,264.00の費用で、余分な数字がすべてカバーされた組み合わせの数を乗算するためです。

期待値：なぜ数学はハウスに有利なのか

期待値は、プレイヤーが単位ステーク当たり勝つまたは失うことが期待できる平均金額で、各可能な賞にその確率を乗算し、結果を合計してからチケット価格を差し引いて計算されます。宝くじはこの数字がプレイヤーにとってマイナスになるように設計されています。宝くじ追跡サイトのLotteryUSAは州ごとの払戻データを引用し、賞金返還率 — チケット売上から実際に勝者に返される共有 — は管轄区域によって大きく異なり、バージニア、メイン、ミズーリは売上の約70～74%を賞金として返している一方、オレゴン、サウスダコタ、ウェストバージニアは20～21%ほどしか返していないとレポートしています。残りは政府プログラム、小売商手数料、行政費用および広告にファンドされており、これはカイシャによってロトファシルに使用される構造でもあります。

カイシャ自身の開示によると、ロトファシル売上の43.79%のみが5つの当選層全体を通じた結合賞金プールに充てられます。実際には、チケットに1レアル支出あたり、平均してプレイヤーへの賞金として半分未満が返され、ジャックポットが安価な固定値の賞金から分離されると、ギャップはさらに広がります。

研究が誰がプレイし、誰が損するかについて示すもの

州宝くじと消費者行動に関する全米経済研究局（NBER）ワーキングペーパーは、世帯宝くじ支出が他の世帯消費の約$38/月 — 約2パーセント — をディスプレイスメント、または「クラウドアウト」することを見出しました。nber.orgのペーパーの要約によると、より低い所得世帯ではより比例的に大きな削減を示しています。

より多くのチケットを購入しても確率がほとんど動かない

パワーボールのようなゲームのジャックポット確率は数億に達するため、1チケットから2チケットへの支出を2倍にしても、ゼロに統計的に近い確率を2倍にするだけです — 292,201,338分の1から292,201,338分の2へ。カイシャが25の数字までマークするプレイヤーを許可することで、すべての組み合わせの意味のある共有をカバーするには、費用が確率の改善よりもはるかに速く拡大することが必要です。カイシャの公開された総組み合わせ数字と20番号チケットがカバーする15,504個の組み合わせを分割することで、大体211分の1のジャックポット確率で計算します — まだ確実な勝利に遠く — その単一チケットの数万レアルの費用です。

この記事のために確認されたソースはどれも、数字パターン、「ホット」数字、またはタイミング — 各宝くじの組み合わせ構造に組み込まれた固定確率を変更する任意の合法的戦略を示唆していません。各抽選は独立し、パワーボールとカイシャの両者の公式ルールは過去の結果からの影響がない随機抽選メカニズムを説明しています。