Jak na prawdę działają kursy loterii — i dlaczego oczekiwana wartość jest zawsze ujemna

Kursy loterii nie są tajemnicą ani kwestią zmieniającego się szczęścia. To liczby stałe obliczane na podstawie tego, ile kombinacji liczb istnieje w danej grze. Po ustaleniu przez loterię jej formatu — ile liczb jest losowanych i z jak dużej puli — prawdopodobieństwo ich dopasowania jest na zawsze określone przez kombinatorykę, gałąź matematyki, która liczy możliwe kombinacje.

Jak obliczane są kursy

W Powerball, wielostanowej grze amerykańskiej, gracze wybierają pięć liczb od 1 do 69 i jedną liczbę Powerball od 1 do 26, zgodnie z oficjalnym zestawieniem nagród opublikowanym na stronie powerball.com. Istnieje 11 238 513 możliwych kombinacji pięciocyfrowych, a każda może być powiązana z 26 możliwymi liczbami Powerball, co daje łącznie 292 201 338 kombinacji na bilet za $2. Dopasowanie wszystkich sześciu liczb — jedynym sposobem na wygraną główną — ma dokładne kursy 1 do 292 201 338, jak podano na stronie powerball.com. Strona wymienia również ogólne kursy wygrania jakiejkolwiek nagrody, w tym najmniejszego poziomu $4, na 1 do 24,87.

Lotofácil w Brazylii, zarządzana przez państwowy bank Caixa Econômica Federal, działa inaczej, ale zgodnie z tą samą logiką. Gracze wybierają 15 liczb z puli 25, a loteria losuje 15 zwycięskich liczb, zgodnie z oficjalną stroną Lotofácil Caixa. Liczba sposobów wyboru 15 pozycji z 25 wynosi 3 268 760 — więc jeden minimalny bilet ma kursy 1 do 3 268 760 na dopasowanie wszystkich 15 liczb za główną nagrodę. Strona Caixa potwierdza, że gracze mogą zaznaczyć do 20 liczb na biecie; wybranie 20 liczb generuje jednocześnie 15 504 kombinacje, które — dzieląc opublikowane cyfry Caixa — dają kursy głównej wygranej wynoszące około 1 do 211 — daleko od pewnej wygranej — za kosztem dziesiątek tysięcy reali za jeden bilet, ponieważ każda dodatkowa liczba mnoży liczbę objętych kombinacji.

Oczekiwana wartość: dlaczego matematyka sprzyja organizatorom

Oczekiwana wartość to średnia kwota, którą gracz może się spodziewać wygrać lub przegrać na jednostkę postawionej sumy, obliczona przez pomnożenie każdej możliwej nagrody przez jej prawdopodobieństwo i zsumowanie wyników, a następnie odjęcie ceny biletu. Loterie są zaprojektowane tak, aby ta liczba była ujemna dla graczy. Serwis śledzący loterie LotteryUSA, powołując się na dane dotyczące poszczególnych stanów, donosi, że współczynniki wypłaty nagród — udział przychodu ze sprzedaży biletów faktycznie zwracony zwycięzcom — znacznie się różnią w zależności od jurysdykcji, przy czym Wirginia, Maine i Missouri zwracają około 70–74% przychodu jako nagrody, podczas gdy Oregon, Dakota Południowa i Wirginia Zachodnia zwracają zaledwie 20–21%. Pozostała część finansuje programy rządowe, prowizje sprzedawców, koszty administracyjne i reklamę, co jest również strukturą używaną przez Caixa dla Lotofácil.

Własne ujawnienie Caixa stwierdza, że tylko 43,79% przychodu Lotofácil jest przeznaczane na łączną pulę nagród we wszystkich pięciu poziomach wygranej. W praktyce oznacza to, że na każdy real wydany na bilet, uśredniony zwrot dla graczy w postaci nagród wynosi znacznie poniżej połowy, a różnica pogłębia się dodatkowo, gdy główna wygrana jest izolowana od taniej ustalonych nagród stałych.

Co pokazują badania o tym, kto gra i kto traci

W pracy roboczej National Bureau of Economic Research (NBER) dotyczącej loterii stanowych i zachowań konsumentów stwierdzono, że wydatki gospodarstw domowych na loterie wypierają lub «wypychają» około $38 miesięcznie — około dwa procent — innych wydatków gospodarstw domowych średnio, z większymi względnymi zmniejszeniami wśród gospodarstw domowych o niskich dochodach, zgodnie ze streszczeniem artykułu na stronie nber.org.

Kupowanie większej liczby biletów ledwie zmienia kursy

Ponieważ kursy głównej wygranej wynoszą setki milionów dla gier takich jak Powerball, podwojenie wydatków z jednego biletu na dwa tylko podwaja prawdopodobieństwo, które pozostaje statystycznie bliskie zeru — z 1 do 292 201 338 do 2 do 292 201 338. Aby objąć znaczący udział wszystkich kombinacji, jak pozwala na to Lotofácil, umożliwiając graczom zaznaczenie do 20 liczb, wymagane są wydatki, które rosną znacznie szybciej niż ulepszają się kursy: dzieląc opublikowane przez Caixa liczby całkowitych kombinacji i 15 504 kombinacji, które obejmuje bilet 20-liczbowy, daje to kursy głównej wygranej wynoszące około 1 do 211 — nadal daleko od pewnej wygranej — za cenę dziesiątek tysięcy reali za jeden bilet.

Żaden ze źródeł przeanalizowanych w tym artykule nie sugeruje żadnej legalnej strategii — wzorce liczb, «gorące» liczby lub timing — które zmieniałyby ustalone prawdopodobieństwa wbudowane w kombinatoryczną strukturę każdej loterii. Każdy los jest niezależny, a oficjalne zasady zarówno Powerball jak i Caixa opisują mechanizmy losowania losowego bez wpływu wyników przeszłych losów.