彩票賠率如何真正運作——以及為什麼預期值總是負數

彩票賠率不是謎團，也不是運氣變化的問題。它們是根據給定遊戲中存在多少數字組合計算出的固定數字。一旦彩票確定了其格式——抽取多少數字，從多大的號碼池中抽取——匹配這些數字的概率由組合數學永久決定，組合數學是計算可能組合的數學分支。

如何計算賠率

在美國多州遊戲超級百樂彩中，根據powerball.com上發布的官方獎金表，玩家從1-69中選擇五個數字，再加上從1-26中選擇一個百樂彩號碼。有11,238,513種可能的五個數字組合，每種組合都可以與26個可能的百樂彩號碼配對，為一張2美元的彩票產生292,201,338種總組合。根據powerball.com所述，匹配所有六個數字——唯一贏得頭獎的方式——的賠率恰好是1比292,201,338。該網站還列出了贏得任何獎金（包括最小的4美元級別）的整體賠率為1比24.87。

巴西的Lotofácil由國有銀行Caixa Econômica Federal運營，運作方式不同但遵循相同的邏輯。根據Caixa官方Lotofácil頁面，玩家從25個號碼池中選擇15個數字，彩票抽取15個中獎號碼。從25中選擇15項的方式數為3,268,760——因此單張最低彩票有1比3,268,760的賠率可匹配所有15個號碼以獲得頭獎。Caixa的頁面確認玩家可以在每張彩票上標記最多20個號碼；選擇20個號碼會立即生成15,504種組合，根據Caixa發布的數字計算——大致計算出約1比211的頭獎賠率，單張彩票的成本為R$54,264.00，因為每個額外號碼都會乘以所涵蓋的組合數。

預期值：為什麼數學對莊家有利

預期值是玩家每單位下注可以預期贏或輸的平均金額，通過將每個可能的獎金乘以其概率並求和結果，然後減去彩票價格來計算。彩票的設計使得這個數字對玩家為負。彩票跟蹤網站LotteryUSA引用州按州的支付數據，報告了獎金支付率——實際返還給中獎者的彩票收入份額——因司法管轄區而異，弗吉尼亞州、緬因州和密蘇里州將約70-74%的收入作為獎金返還，而俄勒岡州、南達科他州和西弗吉尼亞州返還的最少只有20-21%。其餘部分用於資助政府計劃、零售商佣金、行政費用和廣告，這也是Caixa用於Lotofácil的結構。

Caixa自己的披露聲明只有43.79%的Lotofácil收入被分配到所有五個中獎級別的合併獎金池。實際上，這意味著每花1雷亞爾購買彩票，平均返回給玩家的獎金遠不到一半，一旦頭獎與更便宜的固定價值獎項分離，差距會進一步擴大。

研究顯示誰在玩以及誰在虧錢

美國國家經濟研究局（NBER）的一篇關於州彩票和消費者行為的工作論文發現，根據nber.org上的論文摘要，家庭彩票支出平均會替代或「擠出」大約38美元每月——約佔2%——的其他家庭消費，低收入家庭的比例下降更大。

購買更多彩票幾乎不會改變賠率

由於超級百樂彩等遊戲的頭獎賠率高達數億，將支出從一張彩票翻倍到兩張只會將統計上接近零的概率翻倍——從1比292,201,338到2比292,201,338。如Lotofácil允許玩家標記最多20個號碼那樣，要涵蓋所有組合的有意義份額，需要的支出比賠率改善的速度快得多：用Caixa發布的總組合數除以20號彩票涵蓋的15,504個組合，得出頭獎賠率大約1比211——仍然遠遠不夠保證獲勝——單張彩票的成本為數萬雷亞爾。

本文審查的任何來源都不表明任何合法策略——號碼模式、「熱門」號碼或時機——會改變內置於每個彩票組合結構中的固定概率。每次抽籤都是獨立的，Powerball和Caixa的官方規則都描述了隨機抽籤機制，與過去的結果無關。