Как на самом деле работают шансы в лотерее — и почему ожидаемая стоимость всегда отрицательна

Шансы в лотерее — это не загадка и не вопрос меняющейся удачи. Это фиксированные числа, рассчитанные на основе того, сколько числовых комбинаций существует в данной игре. Как только лотерея установит свой формат — сколько чисел рисуется и из какого пула — вероятность их совпадения навсегда определяется комбинаторикой, разделом математики, который считает возможные комбинации.

Как рассчитываются шансы

В Powerball, многогосударственной американской лотерее, игроки выбирают пять чисел от 1 до 69 и одно число Powerball от 1 до 26 в соответствии с официальной таблицей выигрышей, опубликованной на powerball.com. Существует 11 238 513 возможных пятизначных комбинаций, и каждая может быть сопряжена с 26 возможными числами Powerball, что дает 292 201 338 всего комбинаций для билета стоимостью $2. Совпадение всех шести чисел — единственный способ выиграть джекпот — имеет вероятность ровно 1 к 292 201 338, как указано на powerball.com. На сайте также указаны общие шансы на выигрыш любого приза, включая самый меньший уровень в $4, как 1 к 24,87.

Lotofácil Бразилии, управляемая государственным банком Caixa Econômica Federal, работает иначе, но следует той же логике. Игроки выбирают 15 чисел из пула 25 и лотерея рисует 15 выигрышных чисел, согласно официальной странице Lotofácil Caixa. Количество способов выбрать 15 предметов из 25 составляет 3 268 760 — таким образом, одиночный минимальный билет имеет шансы 1 к 3 268 760 на совпадение всех 15 чисел для главного приза. На странице Caixa подтверждается, что игроки могут отметить до 20 чисел на билете; выбор 20 чисел генерирует 15 504 комбинации одновременно, что — согласно опубликованным цифрам Caixa — составляет примерно шансы 1 к 211 на джекпот стоимостью R$54 264,00 за один билет, поскольку каждое дополнительное число увеличивает количество охватываемых комбинаций.

Ожидаемая стоимость: почему математика благоприятствует организаторам

Ожидаемая стоимость — это средняя сумма, которую игрок может ожидать выиграть или потерять на единицу поставленной суммы, рассчитанная путем умножения каждого возможного приза на его вероятность и суммирования результатов, а затем вычитания стоимости билета. Лотереи разработаны так, чтобы это число было отрицательным для игроков. Сайт отслеживания лотерей LotteryUSA, ссылаясь на данные по штатам, сообщает, что коэффициенты выплат призов — доля выручки от билетов, фактически возвращаемая победителям — варьируются широко в зависимости от юрисдикции, причем Виргиния, Мэн и Миссури возвращают примерно 70–74% выручки в виде призов, в то время как Орегон, Южная Дакота и Западная Вирджиния возвращают так мало как 20–21%. Остаток финансирует государственные программы, комиссии розничных продавцов, административные расходы и реклама, что также является структурой, используемой Caixa для Lotofácil.

Собственное раскрытие информации Caixa указывает, что только 43,79% выручки Lotofácil выделяется на объединенный пул призов по всем пяти уровням выигрыша. На практике это означает, что за каждый реал, потраченный на билет, игроки в среднем получают обратно значительно менее половины в виде призов, причем разрыв еще больше увеличивается, когда джекпот отделяется от более дешевых фиксированных призов.

Что показывают исследования о том, кто играет и кто теряет

В рабочем документе Национального бюро экономических исследований (NBER) о государственных лотереях и поведении потребителей выяснилось, что расходы домохозяйств на лотереи вытесняют или «вытягивают» примерно $38 в месяц — около двух процентов — других расходов домохозяйств в среднем, с большими пропорциональными сокращениями среди малообеспеченных домохозяйств, согласно аннотации статьи на nber.org.

Покупка большего количества билетов едва ли улучшает шансы

Поскольку шансы на джекпот составляют сотни миллионов для игр типа Powerball, удвоение расходов с одного билета на два только удваивает вероятность, которая остается статистически близкой к нулю — с 1 к 292 201 338 до 2 к 292 201 338. Охват значимой доли всех комбинаций, как позволяет Lotofácil, позволяя игрокам отметить до 20 чисел, требует расходов, которые растут намного быстрее, чем улучшаются шансы: деление опубликованных цифр Caixa на общее количество комбинаций и 15 504 комбинаций, охватываемых 20-значным билетом, дает шансы на джекпот примерно 1 к 211 — все еще далеко от гарантированного выигрыша — стоимостью десятки тысяч реалов за один билет.

Ни один из источников, рассмотренных для этой статьи, не предполагает никакой законной стратегии — числовые закономерности, «горячие» числа или синхронизацию — которые изменяют фиксированные вероятности, встроенные в комбинаторную структуру каждой лотереи. Каждый розыгрыш независим, и официальные правила как Powerball, так и Caixa описывают механизмы случайного розыгрыша без влияния на результаты прошлых розыгрышей.