복권 확률의 실제 작동 방식 — 왜 기댓값은 항상 음수인가

복권 확률은 신비로운 것도 아니고 운이 변한다는 문제도 아닙니다. 이들은 주어진 게임에 존재하는 숫자 조합의 수로부터 계산된 고정 수입니다. 복권이 형식을 설정하면 — 몇 개의 숫자가 추출되는지, 얼마나 큰 풀에서 — 그들과 매칭될 확률은 조합론에 의해 영구적으로 결정됩니다. 조합론은 가능한 조합을 세는 수학의 한 분야입니다.

확률의 계산 방법

미국의 멀티 스테이트 게임인 파워볼에서 플레이어는 powerball.com에 게시된 게임의 공식 상금 차트에 따라 1-69에서 5개의 숫자와 파워볼 숫자 1-26에서 1개를 선택합니다. 11,238,513개의 가능한 5개 숫자 조합이 있으며, 각각은 26개의 가능한 파워볼 숫자와 쌍을 이루어 $2 티켓에 대해 총 292,201,338개의 조합을 생성합니다. 6개 숫자 모두 매칭하기 — 잭팟 우승의 유일한 방법 — 는 정확히 292,201,338분의 1의 확률이 있으며, powerball.com에서 명시합니다. 이 사이트는 또한 최소 $4 계층을 포함한 임의의 상금을 우승할 전체 확률을 24.87분의 1로 나열합니다.

브라질의 로토파실은 카이샤 에코노미카 페더랄 주(州) 은행에서 운영되며 다르게 작동하지만 같은 논리를 따릅니다. 플레이어는 25개의 풀에서 15개의 숫자를 선택하고 복권은 카이샤의 공식 로토파실 페이지에 따라 15개의 당첨 번호를 추첨합니다. 25개 중 15개 항목을 선택하는 방법의 수는 3,268,760입니다 — 따라서 단일 최소 티켓은 최고 상금을 위해 15개 숫자 모두와 매칭될 확률이 3,268,760분의 1입니다. 카이샤의 페이지는 플레이어가 티켓당 최대 20개의 숫자를 표시할 수 있음을 확인합니다. 20개의 숫자를 선택하면 한 번에 15,504개의 조합을 생성하며, 카이샤의 공개된 수치를 나누면 약 211분의 1의 잭팟 확률로 계산되며, 이는 단일 티켓에 R$54,264.00의 비용이 들고, 추가 숫자가 모든 커버된 조합의 수를 곱하기 때문입니다.

기댓값: 수학이 집(House)을 선호하는 이유

기댓값은 플레이어가 단위 스테이크당 우승하거나 잃을 것으로 예상할 수 있는 평균 금액으로, 각 가능한 상금에 그 확률을 곱하고 결과를 합산한 다음 티켓 가격을 빼서 계산합니다. 복권은 이 수치가 플레이어에게 음수가 되도록 설계되어 있습니다. 복권 추적 사이트 LotteryUSA는 주별 배분 데이터를 인용하며, 상금 배분율 — 티켓 수익에서 실제로 우승자에게 반환되는 점유율 — 은 관할권에 따라 크게 다르며, 버지니아, 메인, 미주리는 수익의 약 70-74%를 상금으로 반환하는 반면 오리건, 사우스다코타, 웨스트버지니아는 20-21%만 반환한다고 보고합니다. 나머지는 정부 프로그램, 소매상 수수료, 행정 비용 및 광고에 자금을 지원하며, 이것이 카이샤가 로토파실에 사용하는 구조이기도 합니다.

카이샤 자체의 공시에 따르면 로토파실 수익의 43.79%만이 5개의 당첨 계층 전체에 대한 통합 상금 풀에 할당됩니다. 실제로, 티켓에 1레알 지출당 평균적으로 1 미만이 플레이어에게 상금으로 반환되며, 잭팟이 저비용 고정값 상금에서 분리되면 격차는 더욱 커집니다.

누가 플레이하고 누가 손실을 입는지에 대한 연구

주 복권과 소비자 행동에 관한 전미경제연구소(NBER) 워킹 페이퍼는 가계 복권 지출이 다른 가계 소비의 약 $38/월 — 약 2퍼센트 — 를 대체하거나 "구축 아웃"한다는 것을 발견했습니다. nber.org의 페이퍼 초록에 따르면 저소득 가계에서 비례적으로 더 큰 감소가 있습니다.

더 많은 티켓 구매가 확률을 거의 움직이지 않음

파워볼과 같은 게임의 잭팟 확률이 수억에 달하기 때문에 한 장의 티켓에서 두 장으로 지출을 두 배로 늘리면 통계적으로 0에 가까운 확률을 두 배로 늘릴 뿐입니다 — 292,201,338분의 1에서 292,201,338분의 2로. 카이샤가 플레이어가 최대 20개의 숫자를 표시하도록 허용함으로써 모든 조합의 의미 있는 공유를 포함하려면 비용이 확률의 개선보다 훨씬 더 빠르게 확대되어야 합니다. 카이샤의 공개된 전체 조합 수치를 20번호 티켓이 포함하는 15,504개의 조합으로 나누면 약 211분의 1의 잭팟 확률로 계산됩니다 — 여전히 확실한 승리와는 거리가 멀고 — 그 단일 티켓에 수만 레알의 비용이 듭니다.

이 기사를 위해 검토한 출처는 어느 것도 숫자 패턴, "핫" 숫자 또는 타이밍 — 각 복권의 조합 구조에 내장된 고정 확률을 변경하는 합법적 전략 — 을 제안하지 않습니다. 각 추첨은 독립적이며, 파워볼과 카이샤 모두의 공식 규칙은 과거 결과로부터의 영향이 없는 무작위 추첨 메커니즘을 설명합니다.