Come Funzionano Realmente le Probabilità della Lotteria – e Perché il Valore Atteso è Sempre Negativo

Le probabilità della lotteria non sono un mistero o una questione di fortuna mutevole. Sono numeri fissi calcolati in base al numero di combinazioni di numeri possibili in un determinato gioco. Una volta che una lotteria stabilisce il suo formato – quanti numeri vengono estratti, da quale pool – la probabilità di abbinarli è determinata permanentemente dalla combinatoria, il ramo della matematica che conta le possibili combinazioni.

Come vengono calcolate le probabilità

In Powerball, il gioco multi-stato degli Stati Uniti, i giocatori scelgono cinque numeri da 1–69 più un numero Powerball da 1–26, secondo la tabella dei premi ufficiale del gioco pubblicata su powerball.com. Ci sono 11.238.513 possibili combinazioni di cinque numeri, e ognuna può essere abbinata a 26 possibili numeri Powerball, producendo 292.201.338 combinazioni totali per un biglietto da 2 dollari. Abbinare tutti e sei i numeri – l'unico modo per vincere il jackpot – ha probabilità esattamente di 1 su 292.201.338, come afferma powerball.com. Il sito elenca anche le probabilità complessive di vincere un premio qualsiasi, inclusa la categoria più piccola di 4 dollari, a 1 su 24,87.

Lotofácil del Brasile, gestito dalla banca statale Caixa Econômica Federal, funziona diversamente ma segue la stessa logica. I giocatori scelgono 15 numeri da un pool di 25 e la lotteria estrae 15 numeri vincenti, secondo la pagina ufficiale di Lotofácil di Caixa. Il numero di modi per scegliere 15 elementi da 25 è 3.268.760 – quindi un singolo biglietto minimo ha probabilità di 1 su 3.268.760 di abbinare tutti i 15 numeri per il premio principale. La pagina di Caixa conferma che i giocatori possono contrassegnare fino a 20 numeri per biglietto; scegliere 20 numeri genera 15.504 combinazioni contemporaneamente, che – dividendo le cifre pubblicate di Caixa – funzionano con probabilità di jackpot di circa 1 su 211, a un costo di R$ 54.264,00 per quel singolo biglietto, poiché ogni numero aggiuntivo moltiplica il numero di combinazioni coperte.

Valore atteso: perché la matematica favorisce la casa

Il valore atteso è l'importo medio che un giocatore può aspettarsi di vincere o perdere per unità puntata, calcolato moltiplicando ogni possibile premio per la sua probabilità e sommando i risultati, quindi sottraendo il prezzo del biglietto. Le lotterie sono progettate affinché questo numero sia negativo per i giocatori. Il sito di tracciamento delle lotterie LotteryUSA, citando i dati sui pagamenti per stato, riporta che i tassi di payout dei premi – la quota dei ricavi dei biglietti effettivamente restituita ai vincitori – variano ampiamente per giurisdizione, con la Virginia, il Maine e il Missouri che restituiscono circa il 70–74% dei ricavi come premi, mentre l'Oregon, il South Dakota e la Virginia Occidentale restituiscono appena il 20–21%. Il resto finanzia programmi governativi, commissioni ai rivenditori, costi amministrativi e pubblicità, che è anche la struttura utilizzata da Caixa per Lotofácil.

La propria divulgazione di Caixa afferma che solo il 43,79% dei ricavi di Lotofácil è allocato al pool di premi combinato tra tutti e cinque i livelli di vincita. In pratica, ciò significa che per ogni real speso su un biglietto, ben meno della metà ritorna ai giocatori come premi in media, con il divario che si allarga ulteriormente una volta che il jackpot è isolato dai premi di valore fisso più economici.

Cosa mostra la ricerca su chi gioca e chi perde

Un documento di lavoro del National Bureau of Economic Research (NBER) sulle lotterie statali e il comportamento dei consumatori ha scoperto che la spesa in lotterie delle famiglie sposta o "elimina" approssimativamente 38 dollari al mese – circa il due percento – di altri consumi familiari in media, con riduzioni proporzionali maggiori tra le famiglie a basso reddito, secondo il riassunto del documento su nber.org.

Acquistare più biglietti sposta appena le probabilità

Poiché le probabilità di jackpot sono nelle centinaia di milioni per giochi come Powerball, raddoppiare la spesa da un biglietto a due soltanto raddoppia una probabilità che rimane statisticamente prossima allo zero – da 1 su 292.201.338 a 2 su 292.201.338. Coprire una quota significativa di tutte le combinazioni, come Lotofácil consente ai giocatori di contrassegnare fino a 20 numeri, richiede spese che si scalano molto più velocemente di quanto migliorino le probabilità: dividendo le cifre pubblicate di Caixa per le combinazioni totali e le 15.504 combinazioni che un biglietto a 20 numeri copre fornisce probabilità di jackpot di circa 1 su 211 – ancora lontano da una vincita sicura – a un costo di decine di migliaia di real per quel singolo biglietto.

Nessuna delle fonti esaminate per questo articolo suggerisce che alcuna strategia legale – modelli numerici, numeri "caldi" o tempistica – cambi le probabilità fisse incorporate nella struttura combinatoria di ogni lotteria. Ogni estrazione è indipendente e le regole ufficiali sia di Powerball che di Caixa descrivono meccanismi di estrazione casuale senza influenza dai risultati precedenti.